Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 18

Cho ∆ ABC nhọn có AB < AC và nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AD. Gọi AH là đường cao của ∆ ABC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại E

a) Chứng minh ABHE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau

c) Gọi F là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng AD và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ HEF.

Lời giải

a) Vì AH ⊥ BC, BE ⊥ AD nên góc AHB = góc AEB = 90^o

Suy ra tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp

b) Vì góc ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc ACD = 90^o ⇒ AC ⊥ CD (1)

 Vì ABHE là tứ giác nội tiếp nên góc ABH = góc HED (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)

Vì ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên góc ABC = góc ADC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC), hay góc ABH = góc EDC

Suy ra góc HED = góc EDC ⇒ EH // DC(2)

Từ (1) và (2) ⇒ HE ⊥ AC

c) Vẽ BK ⊥ AC tại K

Ta có góc AKB = góc AEB = 90^o  nên AKEB là tứ giác nội tiếp

Suy ra góc BKE = góc BAE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE) = góc BAD(3)

Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên góc BAD = góc BCD (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD)(4)

Vì AK // CD (cùng ⊥ AC) nên góc BCD = góc KBM (đồng vị)(5)

Vì M là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BKC nên MK = MB = MC ⇒ ∆ MKB cân tại M ⇒ góc KBM = góc BKM (6)

Từ (3), (4), (5), (6) có góc BKE = góc BKM ⇒ K, E, M thẳng hang

Mà HE // BK (cùng ⊥ AC) nên =>ME = MH

Chứng minh tương tự ta có MF = MH

Suy ra ME = MF = MH ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ HEF (đpcm).

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9