Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 19

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.

1. Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C).

2. Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng:

a) BA² = BE.BF và BHE=BFC

b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một.

Lời giải

1. Ta có BAC= 90⁰ nên BA là tiếp tuyến với (C).

BC vuông góc với AD nên

H là trung điểm AD. Suy ra BDC=BAC=90^o

nên BD cũng là tiếp tuyến với (C)

2.

a) Trong tam giác vuông ABC ta có AB² =BH.BC(1)

Xét hai tam giác đồng dạng ABE và FBA

vì có góc B chung và BAE=BFA(cùng chắn cung AE)

suy ra

Từ (1) và (2) ta có BH.BC = BE.FB

Từ BE.BF= BH.BC

2 tam giác BEH và BCF đồng dạng vì có góc B chung và ÞBHE=BFC

b) do kết quả trên ta có BFA= BAE

HAC=EHB=BFC , do AB //EH. suy ra DAF=DAC – FAC=DFC – CFA=BFA

Þ DAF=BAE , 2 góc này chắn các cung AE,DF nên hai cung này bằng nhau

Gọi giao điểm của AF và EH là N. Ta có 2 tam giác HED và HNA bằng nhau

(vì góc H đối đỉnh, HD = HA, EDH=HDN (do AD // AF)

Suy ra HE = HN, nên H là trung điểm của EN. Suy ra HK là đường trung bình của tam giác EAF.

Vậy HK // AF. Vậy ED // HK // AF.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9