Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 20

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Cho bán kính đường tròn (O) bằng 3cm, độ dài đoạn thẳng OA bằng 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC.

c) Gọi (K) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C. Đường tròn (K) và đường tròn (O) cắt nhau tại điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng đường thẳng BM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.

Lời giải

a) - Có AB ^ OB (t/c tiếp tuyến) Þ ABO = 90⁰- Có AC ^ OC (t/c tiếp tuyến) Þ ACO = 90⁰

- Xét tứ giác ABOC có ABO + ACO = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰ nên nội tiếp được trong đường tròn.

b) - AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AO là đường trung trực của BC.

Gọi H là giao điểm của AO và BC, ta có BC = 2BH.

- ∆ABO vuông tại B có BH là đường cao nên OB² = OH.AO

- ∆OBH vuông tại H Þ BH² = OB² – OH² Þ BH =

Vậy BC = 2BH =

c)- Gọi E là giao điểm của BM và AC.

- ∆EMC và ∆ECB có MEC = CEB và MCE = EBC (Góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến CA cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

Þ ∆EMC ഗ ∆ECB (g-g) Þ EC² = EM.EB (*)

- ∆EMA và ∆EAB có  (a) và :

+ Có   (3) (Góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến CB cùng chắn cung MC của đường tròn (K))

+ Có  (4) (Góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến BA cùng chắn cung MB của đường tròn (O))

+ Từ (3) và (4) Þ

- Từ (a) và (b) Þ ∆EMA ഗ ∆EAB (g-g) Þ EA² = EM.EB (**)

- Từ (*) và (**) Þ EC² = EA² Þ EC = EA. Vậy BM đi qua trung điểm E của AC.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9