Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 21

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q

a) Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp

b) Chứng minh rằng : AP + BQ = PQ

c) Chứng minh rằng : AP.BQ=AO²

d) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất

Lời giải

a) Xét tứ giác APMQ, ta có:

 (vì PA, PM là tiếp tuyến của (O))

Vậy tứ giác APMO nội tiếp.

b) Ta có AP = MP (AP, MP là tiếp tuyến của (O))

BQ = MQ (BQ, MQ là tiếp tuyến của (O))

Þ AP+BQ=MP+MQ=PQ

c) Ta có OP là phân giác góc AOM (AP, MP là tiếp tuyến của (O))

OQ là phân giác góc BOM (BQ, MQ là tiếp tuyến của (O))

Mà góc AOM +góc BOM =180⁰ (hai góc kề bù) Þ = POQ=90^o

Xét DPOQ, ta có: POQ= 90⁰ (cmt), OM PQ ^ (PQ là tiếp tuyến của (O) tại M)

Þ MP.MQ=OM² (hệ thức lượng)

Lại có MP=AP;MQ=BQ (cmt), OM=AO (bán kính)

Do đó AP.BQ=AO²

d) Tứ giác APQB có: AP//BQ( AP^AB,BQ^AB), nên tứ giác APQB là hình thang vuông

=>

Mà AB không đổi nên S_APQB đạt GTNN

óPQ nhỏ nhất óPQ=ABóPQ//ABóOM vuông  AB

óM là điểm chính giữa cung AB.Tức là M trùng M₁ hoăc M trùng M₂ (hình vẽ) thì S_APQB đạt GTNN là

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9