Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 11

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O, kẻ đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Kẻ NE vuông góc với AH.
Đường vuông góc với AC tại C cắt đường tròn tại I và cắt tia AH tại D. Tia AH cắt đường tròn tại F.

a) Chứng minh ABC= ACB =BIC và tứ giác DENC nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh hệ thức AM.AB = AN.AC và tứ giác BFIC là hình thang cân

c) Chứng minh: tứ giác BMED nội tiếp được trong một đường tròn.

Lời giải

a) Vì ABIC là tứ giác nội tiếp nên ABC =AIC; ACB =AIB =>ABC +ACB= AIB AIC= BIC

Vì NE ⊥ AD, NC ⊥ CD nên NED =NCD=90^o=> NED+ NCD =180^o

Suy ra tứ giác DENC là tứ giác nội tiếp

b) + Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông AHB và AHC có

AM. AB = AH² ; AN. AC = AH² ⇒ AM. AB = AN. AC

+ Có IAC=90⁰ - AIC; BAF=90⁰ –ABH; AIC= ABH =>IAC=BAF

Suy ra số đo hai cung IC và BF bằng nhau ⇒ IC = BF.

Mặt khác vì ABFI và ABIC nội tiếp nên BAF= BIF; IAC =IBC;BIF= IBC

Suy ra IF // BC ⇒ BCIF là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau

Mà IF < BC nên BCIF là hình thang cân

c) Có AEN đồng dạng ACD(g.g)

Xét ∆ AME và ∆ ADB có

tam giác AME đồng dạng với tam giác ADB(c.g.c)

=>AME=ADB=>BME+ADB=180^O

Suy ra BMED nội tiếp đường tròn.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9