Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 34

Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH ⊥ BC tại H. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh góc AHK = góc ABC và AH² = AI.AK

c) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AI và AK. Chứng minh rằng: Nếu AH = AM + AN thì ba điểm A, O, H thẳng hàng.

Lời giải

a) Vì AH ⊥ HC, AK ⊥ KC nên góc AHC = góc AKC = 90^o ⇒ góc AHC + góc AKC = 180^o

Suy ra AHCK là tứ giác nội tiếp

b) Vì AHCK là tứ giác nội tiếp nên góc AHK = góc ACK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Mặt khác góc ABC = góc ACK (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC của (O))

Suy ra góc AHK = góc ABC. (1)

Vì góc AHB = góc AIB = 90^o + 90^o = 180^o  nên AHBI là tứ giác nội tiếp ⇒ góc ABH = góc AIH hay góc ABC = góc AIH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc AHK = góc AIH (3)

Chứng minh tương tự, ta có góc AHI = góc AKH (4)

Từ (3) và (4) có tam giác AIH đồng dạng với tam giác AHK(g-g)

(đpcm)

c) Vì M, N là trung điểm của AI, AK nên

Kết hợp với ý b, ta có

Gọi J là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của (O). Có ∆ OBJ = ∆ OCJ (cạnh huyền–cạnh góc vuông) ⇒ JO là phân giác của góc BJC và JB = JC

Suy ra OJ là đường trung trực của BC ⇒ OJ ⊥ BC

Vì AI = AK, AI ⊥ IJ, AK ⊥ KJ nên A thuộc đường phân giác của góc IJK ⇒ A ∈ OJ

Suy ra AO ⊥ BC, mà AH ⊥ BC nên A, O, H thẳng hàng.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9