Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 42

Cho tam giác ABC nhọn (AB <AC) ba đường cao AP, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp

b) Chứng minh tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB

c) Kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn đường kính AH (D là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến BE với đường tròn đường kính CH (E là tiếp điểm). Chứng minh BD = BE

d) Giả sử AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính MN

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp

Ta có BMC=BNC=90O

=>M và N cùng nhìn BC dưới một góc không đổi bằng 900

=>tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn  

b) Chứng minh tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB

Xét tam giác ANM và ACB có:

Góc A chung

Góc ANM = góc ACB (cùng bù với góc BNM)

=>tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB

c) Kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn đường kính AH (D là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến BE với đường tròn đường kính CH (E là tiếp điểm). Chứng minh BD = BE

+ Chứng minh tam giác BDH đồng dạng với tam giác BMD (góc – góc)

=>BD2 = BH.BM

+ Tương tự ta chứng minh được BE2 = BH.BM

=>BD = BE

d) Giả sử AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính MN

Đặt AN = x NB = 4- x (điều kiện 0 < x < 4)

Áp dụng định lý Pythago ta có:

CN2 = AC2 – AN2 = BC2 – BN2

ó52 – x2 = 62 – (4-x)2

ó25 – x2 = 36 – 16 + 8x – x2

ó25 – 36 + 16 = 8x

ó8x = 5

óx=0,625(nhận)

Vậy AN = 0,625

Tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB (cmt)

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9