Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 2

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC = R. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M bất kì trên (O) không trùng với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.

a) Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp.

b) Tình BM.BP theo R

c) Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song.

d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M thay đổi trên (O).

Lời giải

 

a) Ta có AB là đường kính của (O), M ∈ (O) ⇒ góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=> AMB = 90^o => AMP = 90^o

Mặt khác ACP = 90^o (gt)  => AMP + ACP = 180^o

Suy ra tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn.

b) Xét 2 tam giác BAM và BPC ta có:

 (g.g)

 

c) Ta có:

AMNQ là tứ giác nội tiếp ⇒ MNQ = PAM (góc trong tại một đỉnh và góc ngoài tại đỉnh đối diện) (1)

AMPC là tứ giác nội tiếp ⇒ PCM = PAM ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung PM) (2)

Từ (1) và (2) ⇒  MNQ = PCM

Hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau ⇒ PC // NQ.

d) Gọi D là trung điểm BC, là điểm cố định. Qua G kẻ đường thẳng song song MO cắt AB tại I.

*G là trọng tâm tam giác BCM nên G ∈ đoạn MD và MG =  (tính chất trọng tâm)

Do GI // MO nên theo định lí Ta–lét cho tam giác DMO ta có I ∈ đoạn DO và  Mà O, D là hai điểm cố định nên I cố định.

*Do GI // MO nên theo định lí Ta–lét ta có 

⇒ G luôn cách điểm I cố định một khoảngkhông đổi.

⇒ Khi M di động, điểm G luôn nằm trên đường tròn tâm I, bán kính

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9