Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 26

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CA.CB=CH.CD.

c) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.

d) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải

a) Tứ giác ACMD có ACD=AMD= 90^o Nên tứ giác ACMD nội tiếp

b) Xét 2 tam giác vuông : DACH và DDCB đồng dạng

(Do có CDB =MAB  (góc có cạnh thẳng góc))

Nên ta có:

c) Do H là trực tâm của DABD

Vì có 2 chiều cao DC và AM giao nhau tại H , nên AD ^ BN

Hơn nữa ANB = 90⁰ vì chắn nửa đường tròn đường kính AB.

Nên A, N, D thẳng hàng.

Gọi tiếp tuyến tại N cắt CD tại J ta chứng minh JND=NDJ.

Ta có JND=NBA cùng chắn cung AN .

Ta có NDJ =NBA góc có cạnh thẳng góc

Þ JND=NDJ.Vậy trong tam giác vuông DDNH J là trung điểm của HD.

d) Gọi I là giao điểm của MN với AB. CK cắt đường tròn tâm O tại điểm Q.

Khi đó JM, JN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Gọi F là giao điểm của MN và JO. Ta có KFOQ là tứ giác nội tiếp.

=>FI là phân giác KFQ.

Ta có:

=>tứ giác KFOI nội tiếp

=>IK là tiếp tuyến đường tròn tâm O

Vậy MN đi qua điểm cố định I (với IK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9