Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 35

Cho đường tròn (O) cố định và tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt ở D’ và E’

a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp và DE // D’E’

b) Chứng minh rằng OA vuông góc với DE

c) Cho các điểm B và C cố định. Chứng minh rằng khi A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi.

Lời giải

a) * Có BD và CE là các đường cao của ∆ABC => BD ⊥ AC, CE ⊥ AB

=>BDC=90^o ;BEC=90^o

+ Tứ giác BEDC có BDC=90^o ;BEC=90^o mà 2 góc này cùng chắn cạnh BC => tứ giác BEDC nội tiếp (điều phải chứng minh)

* Tứ giác BEDC nội tiếp

* Xét đường tròn (O) có

Từ (1) và (2) =>  mà đây là 2 góc đồng vị => DE // D’E’ (điều phải chứng minh)

b) * Tứ giác BEDC nội tiếp =>

* Trong đường tròn (O) có =>=> số đo cung AE’ = số đo cung AD’ => A là điểm chính giữa cung D’E’ => AO đi qua trung điểm của D’E’

=> AO ⊥ D’E’ , mà DE // D’E’=>OA ⊥ DE (đpcm)

c) * Ta có tứ giác AEHD có => AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD => AH đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ADE

 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ADE.

* Vẽ đường kính AN của đường tròn (O) =>  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> NC ⊥ AC => NC // BD

* Chứng minh tương tự có BN // CE => Tứ giác BHCN là hình bình hành.

* Gọi M là giao điểm của BC và HN => M là trung điểm HN => AH = 2.OM

Mặt khác M là trung điểm của BC nên OM ⊥ BC OM là khoảng cách từ O đến BC, mà BC cố định, O cố định nên OM không đổi

=> AH không

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9