Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 36

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC (A khác C). Từ A vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC)

a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA ⊥ EF

b) Tia FE cắt đường tròn (O) tại P. Chứng minh rằng ∆ APH cân

Lời giải

a) Có BAC = 90°  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vì HE ⊥ AB, HF ⊥ AC nên AEH=AFH = 90°

Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Gọi I là giao OA và EF. Vì ∆ OAB cân ở O nên EAI=ABO  (1)

AEHF là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn ⇒ AEI=AHF (2)

Vì AE // HF (cùng ⊥ AC) nên AHF=EAH=90o- ABO (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ EAI+ AEI = 90° ⇒ ∆ AEI vuông tại I ⇒ OA ⊥ EF

b) Gọi Q là giao của tia EF với (O). Vì OA ⊥ PQ nên A là điểm chính giữa cung PQ

⇒ ∆ APQ cân tại A ⇒ APQ=AQP

Vì APBQ là tứ giác nội tiếp nên ABP=AQP

Suy ra ABP=APQ=APE=>tam giác ABP đồng dạng với tam giác APE (g-g)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB có AH2 = AE. AB

⇒ AP2 = AH2 ⇒ AP = AH ⇒ ∆ APH cân ở A.

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9