Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 53

Cho đường tròn tâm O, điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AED tới (O) (B, C là các tiếp điểm; E nằm giữa A và D). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Chứng minh AB2 = AE. AD và AE .AD = AH. AO

c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD thuộc (O).

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

+ Ta có AB là tiếp tuyến của (O)Þ AB^OB ÞABO=90o

+ Ta có AC là tiếp tuyến của (O)ÞAC^OCÞ ACO=90o

=>ABO+ACO=90o+90o=180o

+ Vậy tứ giác ABOC là một tứ giác nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối bằng 1800)

b) Chứng minh AB2 = AE.AD và AE.AD = AH.AO.

+ Ta có ABE=ADB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung EB của (O))

+ Xét ∆ ABE và ∆ ADB có: BAE chung và ABE=ADB Þ ∆ ABE ~ ∆ ADC (g. g)

+ Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên suy ra AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra ∆ ABC cân tại A có AO là đường phân giác đồng thời là đường caoÞ OA^ BC

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ∆ vuông ABO ta có AB2=AH.AO(2)

Từ (1) và (2)ÞAB2 = AE.AD và AE.AD = AH.AO. (đpcm).

b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD thuộc (O)

+ Gọi F là giao điểm thứ 2 của tia BI với đường tròn (O). Suy ra CBF=DBF Þ CF=DF (theo hệ quả của góc nôi tiếp: 2 góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau). Þ FC = FD (3)

+ Ta có FID là góc ngoài tại đỉnh I của ∆ BID. Suy ra FID=FBD+ BDI

Mà BDI= IDC (vì ID là tia phân giác của góc BDC); FBD=FBC (vì IB là tia phân giác của góc DBC)

FBC=FDC (góc nội tiếp cùng chắn cung CF của (O)).

+ Suy ra FID=IDC+CDF+FDI Þ ∆ IDF cân tại F Þ FD = FI. (4)     

+ Từ (3) và (4) suy ra FD = FI = FC. Suy ra F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD (đpcm).

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9