Tìm vị trí để diện tích tam giác lớn nhất lớp 9.

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=R√2. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi tam giác ADE=2R.

a. CHứng minh tứ giác ABOC là hình vuông.

b. CHứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

c. Tìm giá trị lớn nhất của của diện tích tam giác ADE.

giải:

a. tam giác ABO vuông rồi, ta chứng minh góc O bằng 45 độ nữa là xong. Dựa vào OA =R√2

b. Ta sẽ chứng minh dụa vào chu vi tam giác bằng 2R.

c. bài này ta có thể biện luận theo hai cách:

Cách 1: Hình Học

Vẽ đoạn thẳng JK như hình vẽ, JK cắt DE tại L.

Với D≠J và E≠K thì ta thấy;

 S_DJL<S_KLE

=>S_ADE<S_AJK

Vậy diện tích tam giác ADE lớn nhất khi D≡J và E≡K.

=>ΔADE vuông cân tại A.

=>AD=AE=AH.√2=(R√2-R).√2=R(2-√2)

=>S_ADE=[R(2-√2)]²/2=(3-2√2)R².

Cách 2: đại số.

Gọi BD là x, CE là y thì ta có:

S_ADE=(R-x)(R-y)/2=(R²-R(x+y)+xy)/2

Dể thấy S_ADE lớn nhất khi x+y nhỏ và x.y lớn => thỏa mãn hệ thức cô-si.

X+y≥√(xy) dấu bằng xảy ra khi x=y; lưu ý lúc đó: x+y nhỏ nhất và x.y lớn nhất

Vậy suy ra: x=y

ð Tam giác ADE vuông cân tại A.

ð X=y=R(√2-1)

Thay vào biểu thức trên ta cũng có: S_ADE=(3-2√2)R².