Cho ΔABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AH = AE. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại D

Cho ΔABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AH = AE. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại D.

a. Chứng minh ΔAHD = ΔAED

b. So sánh DH và DC

c. DE cắt AH tại K. Chứng minh ΔDKC cân tại D

d. Gọi M là trung điểm của KC. Chứng minh A, D, M thẳng hàng

Giải:

a.  Xét ΔAHD và ΔAED

Ta có:

ü AH=AE

ü Góc H = Góc E = 90^o

ü AD chung

=> ΔAHD = ΔAED (cạnh huyền cạnh góc vuông)

=>HD=DE

b.    xét tam giác EDC

CD > DE (vì DC là cạnh huyền trong tam giác EDC)

Mà HD=DE  (chứng minh trên)

Suy ra: CD>HD

c.  Xét tam giác EDC và HDK

Ta có:

ü Góc E = góc H = 90^o

ü HD=ED

ü Góc D₁ = góc D₄

ð ΔEDC = ΔHDK

ð DK=DC vì là 2 góc tương ứng.

ð ΔDCK cân tại D.

d.  Xét tam giác ACK

Ta có:

ü KE Ʇ AC

ü CH Ʇ  AK

ü KE cắt CH tại D

ð D là trực tam của tam giác ACK

ð AD là đường cao đỉnh của tam giác ACK  (1)

Lại có: AK=AC (vì AH=AE và HK=EC)

Mà AM là đường trung tuyến của ACK

Suy ra AM cũng là đường cao đỉnh A của tam giác ACK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM ≡ AD

=>A, D, M thẳng hàng.