ÔN TẬP Hình học 9 CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

 

Bài Tập:

Bài 1:

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B; C là hai tiếp điểm).

Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OB cắt (O) tại D (D thuộc cung nhỏ BC). AD cắt (O) tại E (E khác D). Gọi K là trung điểm của DE.

a)      Chứng minh : 5 điểm A, B, O, K, C cùng nằm trên một đường tròn.

b)      Chứng minh : tứ giác KCDH nội tiếp.

c)      Chứng minh : AH. AO = AD. AE và OKH là tam giác cân.

d)     Kẻ OI CE tại I. Chứng minh ba điểm I, K, H thẳng hàng.

Bài 2:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O).

a) Chứng minh: tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp và AH Ʇ BC.

b) Chứng minh: HD đi qua trung điểm của BC.

c) Gọi K là giao điểm của EF và AD. Chứng minh: ∆AFK∽∆ADB.

d) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EF với đường tròn (O). Chứng minh: ∆AMN cân.

e) Chứng minh: AH.BC + BH.AC + CH.AB=4S_∆ABC.

Bài 4 :  Cho đường tròn (O, R) và hai bán kính OA, OB vuông góc nhau. Tính theo R :

a)      Độ dài dây  AB và độ dài cung nhỏ AB.

b)     Diện tích hình quạt AOB nằm trong góc ở tâm AOB

Bài 5 :   Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B là tiếp điểm).  Vẽ dây AD của đường tròn (O) song song với MB;  MD cắt (O) tại E (khác D). Tia AE cắt MB tại K.

Chứng minh :

a/    MAOB là tứ giác nội tiếp và tam giác ABD cân tại B

b/    KB² = KA. KE

c/    K là trung điểm của MB.

d/    BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác  AME     

Bài 6 : 

Cho M  (O; R), I là trung điểm của OM, đường trung trực của OM cắt (O) tại H và K,

a)      Tính góc HOK

b)      Tính theo R độ dài dây HK và độ dài cung nhỏ HK

Bài 7: 

 Từ A ở ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B,C là 2 tiếp điểm) của (O) và cát tuyến ADE (không đi qua O, D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của OA và BC, I là trung điểm DE.

a)      Chứng minh OA vuông với BC tại H.

b)      Chứng minh 5 điểm O, I, B, A, C cùng thuộc một đường tròn.

c)      Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp.

d)     Đường thẳng qua D và vuông góc OB cắt BC tại M, cắt BE tại N. Chứng minh MD = MN.

Bài 8: 

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB (A và B là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến MDC ( D nằm giữa M và C) sao cho MCD cùng phía MA với bờ chứa MO. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Gọi I là trung điểm của CD.

a)     Giả sử số đo cung AB = 120⁰ và R = 6cm.  Tính diện tích hình quạt  tạo bởi OA; OB và cung nhỏ AB 

b)    Chứng minh  MB² = MC.MD 

c)     Chứng minh : CD vuông góc với OI và 5 điểm M, A, B, I, O cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O’ 

d)    Chứng minh tứ giác DCOH nội tiếp 

e)     Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh F là trung điểm ED 

f)      CF cắt MA tại G. Chứng minh O’G không đổi khi cát tuyến MDC thay đổi. 

Bài 9: 

Cho rABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của rABC.

a)      Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp.

b)      Gọi F là giao điểm của AH và BC. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh góc AFB=góc ACK.

c)      Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, rồi suy ra ba điểm H, I, K thẳng hàng.

d)     Cho BC = ¾.AK (kí hiệu có nghĩa là 3AK/4). Tính tổng  AB.CK + AC.BK  theo R.

Bài 10:

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ; R ). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC ( B, C là tiếp điểm), vẽ cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của BC và OA.

a.      Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn và xác định tâm I của đường tròn này.

b.     Chứng minh AB² = AD.AE = OA² – R²

c.      Chứng minh AH.AO = AD.AE . Từ đó suy ra tứ giác OHDE nội tiếp được đường tròn.

d.     Tia AO cắt đường tròn ( O ; R ) tại M và N ( M nằm giữa O và A). Chứng minh BM là tia phân giác của góc HBA. Suy ra HM.NA = MA.NH.

Bài 11:

Cho ∆ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn O có đường cao AD. Tia AD cắt (O) tại điểm M  ( M ≠ A ) . Vẽ ME vuông góc với AC tại E. Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại I

a)    Chứng minh tứ giác MDEC nội tiếp

b)    Chứng minh MI  vuông góc với AB

c)    Chứng minh AB . AI = AE . AC

d)    Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB ; F là điểm đối xứng với M qua AC. NF cắt AD tại H . Chứng minh H là trực tâm ∆ABC

Bài 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt BC tại H.

a)  Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và BH.BC = 4OB²

b) Gọi D là điểm chính giữa của cung AH, tiếp tuyến tại H với đường tròn (O) cắt AC tại M. Chứng minh: BD là phân giác của góc ABC và ba điểm O, D, M thẳng hàng.

c) Chứng minh: Tứ giác OAMH nội tiếp và CMH=2HOM (đây là 2 góc )

d) Tia BD cắt AC tai E, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

    Chứng minh: IO vuông góc với HD.

e) Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với đường tròn (O), từ O vẽ tia Oy vuông góc OC. Gọi K là giao điểm Cx và Oy. Chứng minh: BK là tiếp tuyến của (O).

Câu 13:

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O;R).Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H.

a/ Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn.Xác định tâm I’ của đường tròn này

b/ Vẽ đường kính AK của (O) .Chứng minh BHCK là hình bình hành và OC vuông góc với DE.

c/ Gọi M là trung điểm BC .Chứng minh góc MDN=góc OCA và AB.AC=AD.AK

d/ Vẽ CN Ʇ AK tại N.Cho BC=R√3.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE theo R và chứng minh MN=MD.

e/ Tia phân giác trong của góc BAC cắt BC tại D’.Gọi E’ và F’ theo thứ tự là hình chiếu của D’ trên AB  và AC.Gọi K’ là giao điểm của CE’ và BF’.Gọi H’ là giao điểm của BF’ với đường tròn ngoại tiếp tam giác AE’K’.Chứng minh D’H’Ʇ BF’